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中2数学「三角形と四角形」確認テスト

無料・印刷OK
制限時間40分 配点100点満点 目標80点以上 問題数大問7問（小問34問）

中学2年の数学「三角形と四角形」の無料確認テストです。定義と定理、逆、二等辺三角形と正三角形の性質、直角三角形の合同条件、平行四辺形の性質と平行四辺形になるための条件、長方形・ひし形・正方形、平行線と面積（等積変形）、証明の穴埋めまで、定期テストでよく出る問題を答え付きで1枚にまとめました。角度や辺の長さは数値で、図形の位置関係は文章で示しているので、図がなくても解けます。制限時間40分、100点満点、目標は80点以上。印刷して紙で解いてもOK。解答・解説はページ下にあります。

解答・解説へ 弱点診断へ

ルール角の大きさは「70°」、長さは「5 cm」のように単位まで書くこと。等しい辺や角に印をつけた簡単な図を、自分でかいてから考えること。証明の穴埋めでは、辺や角を対応する頂点の順に書くこと。わからない問題は飛ばして、最後に戻ること。

1 定義と定理・逆 各2点×6＝12点

次の問いに答えなさい。

  1. ことばの意味をはっきりと述べたものを何というか。
  2. 証明されたことがらのうち、基本となる大切なものを何というか。
  3. 二等辺三角形の定義を答えなさい。
  4. 平行四辺形の定義を答えなさい。
  5. 「△ABC で、AB = AC ならば ∠B = ∠C である。」の逆を答え、それが正しいかどうかも答えなさい。
  6. a、b を整数とする。「a、b がともに偶数ならば、a + b は偶数である。」の逆を答え、それが正しいかどうかも答えなさい。

2 二等辺三角形・正三角形 各3点×6＝18点

次の問いに答えなさい。

  1. AB = AC の二等辺三角形 ABC で、∠A = 40° のとき、∠B の大きさを求めなさい。
  2. AB = AC の二等辺三角形 ABC で、∠B = 65° のとき、∠A の大きさを求めなさい。
  3. AB = AC の二等辺三角形 ABC で、頂点 C における外角が 110° のとき、∠A の大きさを求めなさい。
  4. AB = AC の二等辺三角形 ABC で、∠A の二等分線と辺 BC の交点を D とする。BC = 10 cm のとき、線分 BD の長さと ∠ADB の大きさを求めなさい。
  5. 正三角形 ABC の辺 BC を C の方に延長した直線上に、CA = CD となる点 D をとる。∠ADC の大きさを求めなさい。
  6. AB = AC、∠A = 36° の二等辺三角形 ABC で、∠B の二等分線と辺 AC の交点を D とする。∠BDC の大きさを求めなさい。

3 直角三角形の合同条件 各2点×4＝8点

次の問いに答えなさい。

  1. 直角三角形で、直角に向かい合う辺を何というか。
  2. 直角三角形の合同条件を2つ書きなさい。
  3. ∠C = ∠F = 90° の直角三角形 ABC と DEF で、AB = DE、∠A = ∠D のとき、使える合同条件を答えなさい。
  4. ∠C = ∠F = 90° の直角三角形 ABC と DEF で、AB = DE、BC = EF のとき、使える合同条件を答えなさい。

4 平行四辺形の性質と条件 各3点×6＝18点

(1)〜(3)は、次の平行四辺形について答えなさい。平行四辺形 ABCD（頂点は A、B、C、D の順に並ぶ）で、AB = 6 cm、BC = 9 cm、∠ABC = 70° である。

  1. 辺 AD と辺 CD の長さを求めなさい。
  2. ∠ADC の大きさを求めなさい。
  3. ∠BAD の大きさを求めなさい。
  4. 平行四辺形 EFGH の対角線 EG と FH の交点を O とする。EG = 14 cm、FH = 10 cm のとき、線分 OE と OH の長さを求めなさい。
  5. 四角形 PQRS（頂点は P、Q、R、S の順に並ぶ）が次の条件を満たすとき、いつでも平行四辺形になるものをすべて選びなさい。　ア PQ = SR、PS = QR　イ PQ ∥ SR、PS = QR　ウ ∠P = ∠R、∠Q = ∠S　エ PQ ∥ SR、PQ = SR　オ PR = QS
  6. 四角形 KLMN（頂点は K、L、M、N の順に並ぶ）で、∠K = 110°、∠L = 70°、∠M = 110° である。この四角形は平行四辺形といえるか。理由もあわせて答えなさい。

5 長方形・ひし形・正方形 各2点×6＝12点

次の問いに答えなさい。

  1. 長方形の定義を答えなさい。
  2. ひし形の定義を答えなさい。
  3. 平行四辺形 ABCD に、∠A = 90° という条件を加えると、何という四角形になるか。
  4. 平行四辺形 ABCD に、AC ⊥ BD という条件を加えると、何という四角形になるか。
  5. 長方形 ABCD に、AB = BC という条件を加えると、何という四角形になるか。
  6. 平行四辺形・長方形・ひし形・正方形のうち、「対角線の長さが等しい」がいつでも成り立つものをすべて答えなさい。

6 平行線と面積（等積変形） 各3点×4＝12点

(1)・(2)は、AD ∥ BC で AD が BC より短い台形 ABCD（頂点は A、B、C、D の順に並ぶ）について、対角線 AC と BD の交点を O として答えなさい。

  1. △ABC と面積が等しい三角形を答えなさい。
  2. △ABO と面積が等しい三角形を答えなさい。
  3. 平行四辺形 ABCD の辺 AD 上に点 E をとる。平行四辺形 ABCD の面積が 40 cm² のとき、△EBC の面積を求めなさい。
  4. 四角形 ABCD（頂点は A、B、C、D の順に並ぶ）で、対角線 AC をひく。点 D を通り AC に平行な直線と、辺 BC を C の方に延長した直線との交点を E とする。四角形 ABCD と △ABE の面積が等しくなる理由を説明しなさい。

7 証明の穴埋め 各10点×2＝20点

次の証明の（ア）〜（オ）にあてはまる記号やことばを答えなさい（空らん1つにつき2点）。

  1. ∠XOY の二等分線上の点 P から、辺 OX、OY にそれぞれ垂線をひき、OX、OY との交点を A、B とする。このとき PA = PB となることを、次のように証明した。［証明］△POA と △POB において、仮定より ∠PAO = ∠PBO =（ア）° …①。OP は ∠XOY の二等分線だから、∠POA = ∠（イ）…②。OP は（ウ）…③。①、②、③より、直角三角形の（エ）がそれぞれ等しいので、△POA ≡ △POB。合同な図形の対応する辺は等しいので、PA =（オ）。
  2. 平行四辺形 ABCD の対角線 BD 上に、BE = DF となる点 E、F をとる。このとき AE = CF となることを、次のように証明した。［証明］△ABE と △CDF において、平行四辺形の（ア）は等しいから、AB = CD …①。仮定より、BE =（イ）…②。AB ∥ DC より、平行線の（ウ）は等しいから、∠ABE = ∠CDF …③。①、②、③より、（エ）がそれぞれ等しいので、△ABE ≡ △CDF。合同な図形の対応する辺は等しいので、AE =（オ）。

解答・解説

大問ごとに開けます。丸つけのあとは、下の「弱点診断」で落とした型を確認してください。

1. 定義と定理・逆（各2点×6＝12点）
  1. ことばの意味をはっきりと述べたものを何というか。 定義
  2. 証明されたことがらのうち、基本となる大切なものを何というか。 定理
  3. 二等辺三角形の定義を答えなさい。 2つの辺が等しい三角形
  4. 平行四辺形の定義を答えなさい。 2組の対辺がそれぞれ平行な四角形
  5. 「△ABC で、AB = AC ならば ∠B = ∠C である。」の逆を答え、それが正しいかどうかも答えなさい。 逆は「△ABC で、∠B = ∠C ならば AB = AC である。」で、正しい（2つの角が等しい三角形は二等辺三角形）
  6. a、b を整数とする。「a、b がともに偶数ならば、a + b は偶数である。」の逆を答え、それが正しいかどうかも答えなさい。 逆は「a + b が偶数ならば、a、b はともに偶数である。」で、正しくない（反例：a = 1、b = 3 のとき a + b = 4 は偶数だが、a、b は奇数）
2. 二等辺三角形・正三角形（各3点×6＝18点）
  1. AB = AC の二等辺三角形 ABC で、∠A = 40° のとき、∠B の大きさを求めなさい。 (180° − 40°) ÷ 2 = 70°
  2. AB = AC の二等辺三角形 ABC で、∠B = 65° のとき、∠A の大きさを求めなさい。 180° − 65° × 2 = 50°
  3. AB = AC の二等辺三角形 ABC で、頂点 C における外角が 110° のとき、∠A の大きさを求めなさい。 ∠ACB = 180° − 110° = 70°、∠ABC = ∠ACB なので 180° − 70° × 2 → 40°
  4. AB = AC の二等辺三角形 ABC で、∠A の二等分線と辺 BC の交点を D とする。BC = 10 cm のとき、線分 BD の長さと ∠ADB の大きさを求めなさい。 BD = 5 cm、∠ADB = 90°（二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に2等分する）
  5. 正三角形 ABC の辺 BC を C の方に延長した直線上に、CA = CD となる点 D をとる。∠ADC の大きさを求めなさい。 ∠ACD = 180° − 60° = 120°。△CAD は CA = CD の二等辺三角形なので (180° − 120°) ÷ 2 → 30°
  6. AB = AC、∠A = 36° の二等辺三角形 ABC で、∠B の二等分線と辺 AC の交点を D とする。∠BDC の大きさを求めなさい。 ∠ABC = ∠ACB = (180° − 36°) ÷ 2 = 72°、∠DBC = 72° ÷ 2 = 36°。△DBC で 180° − (36° + 72°) → 72°
3. 直角三角形の合同条件（各2点×4＝8点）
  1. 直角三角形で、直角に向かい合う辺を何というか。 斜辺
  2. 直角三角形の合同条件を2つ書きなさい。 斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい。／斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい。
  3. ∠C = ∠F = 90° の直角三角形 ABC と DEF で、AB = DE、∠A = ∠D のとき、使える合同条件を答えなさい。 斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい（斜辺は AB と DE）
  4. ∠C = ∠F = 90° の直角三角形 ABC と DEF で、AB = DE、BC = EF のとき、使える合同条件を答えなさい。 斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい
4. 平行四辺形の性質と条件（各3点×6＝18点）
  1. 辺 AD と辺 CD の長さを求めなさい。 AD = 9 cm、CD = 6 cm（平行四辺形の2組の対辺は、それぞれ等しい）
  2. ∠ADC の大きさを求めなさい。 70°（平行四辺形の2組の対角は、それぞれ等しい）
  3. ∠BAD の大きさを求めなさい。 2組の対角はそれぞれ等しく、四角形の内角の和は 360° なので (360° − 70° × 2) ÷ 2 = 110°
  4. 平行四辺形 EFGH の対角線 EG と FH の交点を O とする。EG = 14 cm、FH = 10 cm のとき、線分 OE と OH の長さを求めなさい。 OE = 7 cm、OH = 5 cm（平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わる）
  5. 四角形 PQRS（頂点は P、Q、R、S の順に並ぶ）が次の条件を満たすとき、いつでも平行四辺形になるものをすべて選びなさい。　ア PQ = SR、PS = QR　イ PQ ∥ SR、PS = QR　ウ ∠P = ∠R、∠Q = ∠S　エ PQ ∥ SR、PQ = SR　オ PR = QS ア、ウ、エ（イとオは、PQ ∥ SR で PS = QR の台形のように、平行四辺形にならない場合がある）
  6. 四角形 KLMN（頂点は K、L、M、N の順に並ぶ）で、∠K = 110°、∠L = 70°、∠M = 110° である。この四角形は平行四辺形といえるか。理由もあわせて答えなさい。 ∠N = 360° − (110° + 70° + 110°) = 70° → いえる（∠K = ∠M、∠L = ∠N で、2組の対角がそれぞれ等しいから）
5. 長方形・ひし形・正方形（各2点×6＝12点）
  1. 長方形の定義を答えなさい。 4つの角がすべて等しい四角形
  2. ひし形の定義を答えなさい。 4つの辺がすべて等しい四角形
  3. 平行四辺形 ABCD に、∠A = 90° という条件を加えると、何という四角形になるか。 長方形
  4. 平行四辺形 ABCD に、AC ⊥ BD という条件を加えると、何という四角形になるか。 ひし形
  5. 長方形 ABCD に、AB = BC という条件を加えると、何という四角形になるか。 正方形
  6. 平行四辺形・長方形・ひし形・正方形のうち、「対角線の長さが等しい」がいつでも成り立つものをすべて答えなさい。 長方形、正方形
6. 平行線と面積（等積変形）（各3点×4＝12点）
  1. △ABC と面積が等しい三角形を答えなさい。 △DBC（底辺 BC が共通で、AD ∥ BC より高さが等しい）
  2. △ABO と面積が等しい三角形を答えなさい。 △DCO（△ABC − △OBC = △DBC − △OBC）
  3. 平行四辺形 ABCD の辺 AD 上に点 E をとる。平行四辺形 ABCD の面積が 40 cm² のとき、△EBC の面積を求めなさい。 底辺は BC、高さは平行四辺形の高さと同じなので 40 ÷ 2 = 20 cm²
  4. 四角形 ABCD（頂点は A、B、C、D の順に並ぶ）で、対角線 AC をひく。点 D を通り AC に平行な直線と、辺 BC を C の方に延長した直線との交点を E とする。四角形 ABCD と △ABE の面積が等しくなる理由を説明しなさい。 AC ∥ DE なので、底辺 AC が共通な △ACD と △ACE は高さが等しく、面積が等しい。よって、四角形 ABCD = △ABC + △ACD = △ABC + △ACE = △ABE となる。
7. 証明の穴埋め（各10点×2＝20点）
  1. ∠XOY の二等分線上の点 P から、辺 OX、OY にそれぞれ垂線をひき、OX、OY との交点を A、B とする。このとき PA = PB となることを、次のように証明した。［証明］△POA と △POB において、仮定より ∠PAO = ∠PBO =（ア）° …①。OP は ∠XOY の二等分線だから、∠POA = ∠（イ）…②。OP は（ウ）…③。①、②、③より、直角三角形の（エ）がそれぞれ等しいので、△POA ≡ △POB。合同な図形の対応する辺は等しいので、PA =（オ）。 ア: 90　イ: POB（BOP でもよい）　ウ: 共通　エ: 斜辺と1つの鋭角　オ: PB
  2. 平行四辺形 ABCD の対角線 BD 上に、BE = DF となる点 E、F をとる。このとき AE = CF となることを、次のように証明した。［証明］△ABE と △CDF において、平行四辺形の（ア）は等しいから、AB = CD …①。仮定より、BE =（イ）…②。AB ∥ DC より、平行線の（ウ）は等しいから、∠ABE = ∠CDF …③。①、②、③より、（エ）がそれぞれ等しいので、△ABE ≡ △CDF。合同な図形の対応する辺は等しいので、AE =（オ）。 ア: 対辺　イ: DF　ウ: 錯角　エ: 2組の辺とその間の角　オ: CF

採点が終わったら：どの型で落としたかを見る

点数より「どの大問を落としたか」が大事です。落とした大問を下の表で引くと、原因と対策がわかります。

落とした大問原因対策
1定義・定理・逆の区別定義は「ことばの意味の約束」、定理は「証明された大切な性質」。逆は仮定と結論を入れかえたもの。逆はいつも正しいとは限らないので、反例を1つ探して確かめる。
2二等辺三角形の角の計算等しい2辺の間の角が頂角、残りの2つが底角で、底角は等しい。外角が与えられたら、先に「180° − 外角」で内角に直す。
3直角三角形の合同条件まず斜辺（直角に向かい合う辺）が等しいかを確かめる。そのうえで「1つの鋭角」か「他の1辺」が等しいかを見る。
4・5平行四辺形の性質と条件の混同性質は「対辺・対角が等しい、対角線が中点で交わる」。条件は定義と、2組の対辺・2組の対角・対角線の中点・1組の対辺が平行で長さも等しい。長方形は角、ひし形は辺、正方形は両方の条件。
6等積変形の考え方底辺が共通で、頂点が底辺に平行な直線上にあれば面積は等しい。面積の等しい三角形から、共通部分をひいて考える。
7証明の根拠が書けない等しい辺・角ごとに「仮定」「共通」「平行線の錯角」「平行四辺形の対辺」などの根拠を書く。直角三角形は、斜辺がどこかを必ず確認する。

80点未満だったときの、やり直し順

  1. 第1問・第5問の定義を、何も見ずに言えるようにする。ここは覚えれば短時間で取り返せる。
  2. 第2問は三角形をかき、等しい辺と等しい角に印をつけてから解き直す。
  3. 第4問(5)は、選ばなかったイ・オについて、平行四辺形にならない図（台形など）をかいて確かめる。
  4. もう一度同じテストを30分で解き直し、90点以上を目標にする。

よくある質問

3件
中2数学「三角形と四角形」のテストは何分・何点ですか？
制限時間40分、100点満点、目標は80点以上です。大問7問、小問34問で構成しています。
解答・解説はついていますか？
大問ごとに解答・解説をつけています。さらに、間違えた大問から弱点を診断する採点表と、目標点に届かなかったときのやり直し順も載せています。
印刷して使えますか？
使えます。ページ内の「印刷する」ボタンから、問題だけを印刷できます（解答は印刷されません）。

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