制限時間40分 配点100点満点 目標80点以上 問題数大問8問（小問24問）
中学3年の数学「円（円周角の定理）」の無料確認テストです。円周角と中心角の関係、同じ弧に対する円周角、半円の弧に対する円周角、弧の長さと円周角、円周角の定理の逆、円の接線、円と相似の証明の穴埋めとその利用まで、定期テストでよく出る問題を答え付きで1枚にまとめました。点の並び方や位置関係は文章で示しているので、図がなくても解けます。紙に円と点をかいてから取り組んでください。制限時間40分、100点満点、目標は80点以上。解答・解説と弱点診断つきで、画面でも印刷しても使えます。
ルール角の大きさは「50°」のように単位 ° をつけて書くこと。問題文のとおりに円と点を紙にかき、どの弧に対する角かを確かめてから考えること。わからない問題は飛ばして、最後に戻ること。
1 円周角と中心角 各3点×5＝15点
次の問いに答えなさい。O は円の中心とする。
- 弧 AB に対する中心角 ∠AOB が 100° のとき、同じ弧 AB に対する円周角 ∠APB の大きさを求めなさい。
- 弧 AB に対する円周角が 35° のとき、同じ弧 AB に対する中心角の大きさを求めなさい。
- 円周上に2点 A、B があり、2点 P、Q が、直線 AB について同じ側の円周上にある。∠APB = 40° のとき、∠AQB の大きさを求めなさい。
- 半円の弧に対する円周角の大きさを答えなさい。
- 線分 AB を直径とする円の周上に点 P がある。∠PAB = 35° のとき、∠PBA の大きさを求めなさい。
2 円周角の定理を使って角を求める 各4点×4＝16点
次の問いに答えなさい。O は円の中心とする。
- 円 O の周上に3点 A、B、C があり、点 C は長いほうの弧 AB 上にある。∠OAB = 25° のとき、∠ACB の大きさを求めなさい。
- 円 O の周上に2点 A、B があり、∠AOB = 140°（小さいほうの角）である。短いほうの弧 AB 上に点 D をとるとき、∠ADB の大きさを求めなさい。
- 円周上に4点 A、B、C、D がこの順に並んでいる。∠BAC = 30° のとき、∠BDC の大きさを求めなさい。
- (3) の図で、線分 AC と線分 BD の交点を E とする。∠ACD = 45° のとき、∠CED の大きさを求めなさい。
3 弧と円周角 各4点×3＝12点
次の問いに答えなさい。
- 1つの円で、長さの等しい弧に対する円周角の大きさには、どんな関係があるか。
- 円周を5等分する点を、順に A、B、C、D、E とする。弧 AB（短いほう）に対する円周角の大きさを求めなさい。
- 弧 AB の長さが円周の 1/6 であるとき、弧 AB に対する円周角の大きさを求めなさい。
4 円周角の定理の逆 各4点×3＝12点
次の問いに答えなさい。
- 2点 C、D が直線 AB について同じ側にあり、∠ACB = 40°、∠ADB = 40° である。4点 A、B、C、D は1つの円周上にあるといえるか。
- 2点 C、D が直線 AB について同じ側にあり、∠ACB = 50°、∠ADB = 60° である。4点 A、B、C、D は1つの円周上にあるといえるか。
- ∠APB = 90° であるとき、点 P は、線分 AB を何とする円の周上にあるか。
5 円と接線 各4点×3＝12点
次の問いに答えなさい。O は円の中心とする。
- 円 O の周上の点 A を通る接線と、半径 OA のつくる角の大きさを答えなさい。
- 円 O の外部の点 P から、円 O に2本の接線をひき、接点を A、B とする。PA = 7 cm のとき、PB の長さを求めなさい。
- (2) の図で、∠APB = 50° のとき、∠AOB の大きさを求めなさい。
6 証明の穴埋め 各10点×1＝10点
次の証明の（ア）〜（オ）にあてはまる記号やことばを答えなさい（空らん1つにつき2点）。
- 円周上に4点 A、B、C、D がこの順に並び、弦 AC と弦 BD が点 E で交わっている。このとき △ABE ∽ △DCE となることを、次のように証明した。［証明］△ABE と △DCE において、弧 BC に対する（ア）は等しいから、∠BAE = ∠（イ）…①。（ウ）は等しいから、∠AEB = ∠DEC …②。①、②より、（エ）がそれぞれ等しいので、△ABE（オ）△DCE。
7 円と相似を使って長さを求める 各4点×2＝8点
大問6の図で、次の問いに答えなさい。
- AE = 6 cm、DE = 4 cm、BE = 3 cm のとき、CE の長さを求めなさい。
- (1) で、AB = 6 cm のとき、DC の長さを求めなさい。
8 直径と円周角の総合問題 各5点×3＝15点
線分 AB を直径とする円 O の周上に、直線 AB について反対側に点 C と点 D があり、円周上に A、C、B、D の順に並んでいる。∠CAB = 40° である。
- ∠ACB の大きさを求めなさい。
- ∠ABC の大きさを求めなさい。
- ∠CDB の大きさを求めなさい。
解答・解説
大問ごとに開けます。丸つけのあとは、下の「弱点診断」で落とした型を確認してください。
1. 円周角と中心角（各3点×5＝15点）
- 弧 AB に対する中心角 ∠AOB が 100° のとき、同じ弧 AB に対する円周角 ∠APB の大きさを求めなさい。 100° × 1/2 = 50°
- 弧 AB に対する円周角が 35° のとき、同じ弧 AB に対する中心角の大きさを求めなさい。 35° × 2 = 70°
- 円周上に2点 A、B があり、2点 P、Q が、直線 AB について同じ側の円周上にある。∠APB = 40° のとき、∠AQB の大きさを求めなさい。 40°（同じ弧に対する円周角は等しい）
- 半円の弧に対する円周角の大きさを答えなさい。 90°
- 線分 AB を直径とする円の周上に点 P がある。∠PAB = 35° のとき、∠PBA の大きさを求めなさい。 ∠APB = 90° なので 180° − (90° + 35°) → 55°
2. 円周角の定理を使って角を求める（各4点×4＝16点）
- 円 O の周上に3点 A、B、C があり、点 C は長いほうの弧 AB 上にある。∠OAB = 25° のとき、∠ACB の大きさを求めなさい。 OA = OB より ∠AOB = 180° − 25° × 2 = 130°、∠ACB = 130° × 1/2 → 65°
- 円 O の周上に2点 A、B があり、∠AOB = 140°（小さいほうの角）である。短いほうの弧 AB 上に点 D をとるとき、∠ADB の大きさを求めなさい。 長いほうの弧 AB に対する中心角は 360° − 140° = 220°、∠ADB = 220° × 1/2 → 110°
- 円周上に4点 A、B、C、D がこの順に並んでいる。∠BAC = 30° のとき、∠BDC の大きさを求めなさい。 30°（どちらも弧 BC に対する円周角）
- (3) の図で、線分 AC と線分 BD の交点を E とする。∠ACD = 45° のとき、∠CED の大きさを求めなさい。 △ECD で 180° − (45° + 30°) = 105°
3. 弧と円周角（各4点×3＝12点）
- 1つの円で、長さの等しい弧に対する円周角の大きさには、どんな関係があるか。 等しい
- 円周を5等分する点を、順に A、B、C、D、E とする。弧 AB（短いほう）に対する円周角の大きさを求めなさい。 中心角は 360° ÷ 5 = 72°、円周角は 72° × 1/2 → 36°
- 弧 AB の長さが円周の 1/6 であるとき、弧 AB に対する円周角の大きさを求めなさい。 中心角は 360° × 1/6 = 60°、円周角は 60° × 1/2 → 30°
4. 円周角の定理の逆（各4点×3＝12点）
- 2点 C、D が直線 AB について同じ側にあり、∠ACB = 40°、∠ADB = 40° である。4点 A、B、C、D は1つの円周上にあるといえるか。 いえる（∠ACB = ∠ADB なので、円周角の定理の逆が成り立つ）
- 2点 C、D が直線 AB について同じ側にあり、∠ACB = 50°、∠ADB = 60° である。4点 A、B、C、D は1つの円周上にあるといえるか。 いえない（∠ACB と ∠ADB が等しくない）
- ∠APB = 90° であるとき、点 P は、線分 AB を何とする円の周上にあるか。 直径
5. 円と接線（各4点×3＝12点）
- 円 O の周上の点 A を通る接線と、半径 OA のつくる角の大きさを答えなさい。 90°（円の接線は、接点を通る半径に垂直）
- 円 O の外部の点 P から、円 O に2本の接線をひき、接点を A、B とする。PA = 7 cm のとき、PB の長さを求めなさい。 7 cm（円の外部の1点からひいた2本の接線の長さは等しい）
- (2) の図で、∠APB = 50° のとき、∠AOB の大きさを求めなさい。 四角形 PAOB で ∠PAO = ∠PBO = 90° なので 360° − (90° + 90° + 50°) → 130°
6. 証明の穴埋め（各10点×1＝10点）
- 円周上に4点 A、B、C、D がこの順に並び、弦 AC と弦 BD が点 E で交わっている。このとき △ABE ∽ △DCE となることを、次のように証明した。［証明］△ABE と △DCE において、弧 BC に対する（ア）は等しいから、∠BAE = ∠（イ）…①。（ウ）は等しいから、∠AEB = ∠DEC …②。①、②より、（エ）がそれぞれ等しいので、△ABE（オ）△DCE。 ア: 円周角 イ: CDE（CDB でも可） ウ: 対頂角 エ: 2組の角 オ: ∽
7. 円と相似を使って長さを求める（各4点×2＝8点）
- AE = 6 cm、DE = 4 cm、BE = 3 cm のとき、CE の長さを求めなさい。 △ABE ∽ △DCE より AE : DE = BE : CE、6 : 4 = 3 : CE → 2 cm
- (1) で、AB = 6 cm のとき、DC の長さを求めなさい。 AE : DE = AB : DC、6 : 4 = 6 : DC → 4 cm
8. 直径と円周角の総合問題（各5点×3＝15点）
- ∠ACB の大きさを求めなさい。 90°（半円の弧に対する円周角）
- ∠ABC の大きさを求めなさい。 180° − (90° + 40°) = 50°
- ∠CDB の大きさを求めなさい。 40°（∠CAB と同じく、弧 CB に対する円周角）
採点が終わったら：どの型で落としたかを見る
点数より「どの大問を落としたか」が大事です。落とした大問を下の表で引くと、原因と対策がわかります。
| 落とした大問 | 原因 | 対策 |
|---|
| 1 | 円周角と中心角の関係 | 1つの弧に対する円周角は、その弧に対する中心角の半分。同じ弧に対する円周角はすべて等しい。直径（半円の弧）に対する円周角は 90°。 |
| 2 | どの弧に対する角かの見きわめ | 角の2辺が円周と交わる2点を結ぶ弧のうち、角の頂点をふくまないほうが「その角に対する弧」。中心角が 180° より大きくなる場合は、360° からひいて求める。半径どうしでできる三角形は二等辺三角形。 |
| 3 | 弧の長さと円周角 | 弧の長さが円周の何分の1かを考え、まず中心角（360° × 割合）を出してから半分にする。等しい弧に対する円周角は等しい。 |
| 4 | 円周角の定理の逆 | 2点 C、D が直線 AB の同じ側にあって ∠ACB = ∠ADB なら、4点は1つの円周上にある。∠APB = 90° なら、P は AB を直径とする円周上にある。 |
| 5 | 接線の性質 | 接線は接点を通る半径に垂直。円の外部の1点からひいた2本の接線の長さは等しい。四角形の内角の和 360° を使う。 |
| 6・7 | 円と相似 | 同じ弧に対する円周角と対頂角で「2組の角がそれぞれ等しい」を示す。長さは、対応する辺を同じ順に並べて比例式を作る。 |
| 8 | 直径があるときの角 | 直径が出てきたら、まず 90° の角を探す。そのあとで三角形の内角の和と、同じ弧に対する円周角を使う。 |
80点未満だったときの、やり直し順
- 第1問は、円と点をかき、「円周角は中心角の半分」「直径には 90°」を声に出して確かめてから解き直す。
- 第2問は、それぞれの角がどの弧に対する角かを図に色分けしてから求め直す。
- 第6問の証明を何も見ずに書けるまで写し、①・②の根拠を言えるようにする。
- もう一度同じテストを30分で解き直し、90点以上を目標にする。
よくある質問
3件
- 中3数学「円（円周角の定理）」のテストは何分・何点ですか？
- 制限時間40分、100点満点、目標は80点以上です。大問8問、小問24問で構成しています。
- 解答・解説はついていますか？
- 大問ごとに解答・解説をつけています。さらに、間違えた大問から弱点を診断する採点表と、目標点に届かなかったときのやり直し順も載せています。
- 印刷して使えますか？
- 使えます。ページ内の「印刷する」ボタンから、問題だけを印刷できます（解答は印刷されません）。