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中3数学「相似な図形」確認テスト

無料・印刷OK
制限時間40分 配点100点満点 目標80点以上 問題数大問8問（小問25問）

中学3年の数学「相似な図形」の無料確認テストです。相似比と対応する辺・角、三角形の相似条件、相似を使って辺の長さを求める問題、平行線と線分の比、中点連結定理、相似な図形の面積比と体積比、証明の穴埋め、縮図の利用まで、定期テストでよく出る問題を答え付きで1枚にまとめました。図形の位置関係は文章で示しているので、図がなくても解けます。紙に簡単な図をかいてから取り組んでください。制限時間40分、100点満点、目標は80点以上。解答・解説と弱点診断つきで、画面でも印刷しても使えます。

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ルール相似を記号 ∽ で表すときは、対応する頂点を同じ順に書くこと。比は、もっとも簡単な整数の比で答えること。長さ・面積・体積には単位をつけること。問題文の位置関係を、紙に簡単な図にかいてから考えること。

1 相似な図形と相似比 各3点×4＝12点

△ABC ∽ △DEF で、頂点 A と D、B と E、C と F がそれぞれ対応している。AB = 6 cm、BC = 9 cm、CA = 12 cm、DE = 4 cm である。

  1. △ABC と △DEF の相似比を求めなさい。
  2. 辺 EF の長さを求めなさい。
  3. 辺 FD の長さを求めなさい。
  4. これとは別の2つの三角形で、△PQR ∽ △STU（P と S、Q と T、R と U が対応）である。∠P = 50°、∠Q = 100° のとき、∠U の大きさを求めなさい。

2 三角形の相似条件 各3点×4＝12点

次の問いに答えなさい。

  1. 三角形の相似条件を3つ書きなさい。
  2. △ABC と △DEF で、AB = 4 cm、BC = 6 cm、CA = 8 cm、DE = 6 cm、EF = 9 cm、FD = 12 cm のとき、使える相似条件を答えなさい。
  3. △ABC と △DEF で、AB = 6 cm、AC = 9 cm、∠A = 40°、DE = 4 cm、DF = 6 cm、∠D = 40° のとき、使える相似条件を答えなさい。
  4. △ABC と △DEF で、∠A = 60°、∠B = 70°、∠D = 60°、∠F = 50° のとき、2つの三角形は相似といえるか。理由もあわせて答えなさい。

3 相似を使って長さを求める 各4点×3＝12点

次の問いに答えなさい。

  1. △ABC で、辺 AB 上に点 D、辺 AC 上に点 E があり、∠ADE = ∠ACB である。AD = 4 cm、AE = 3 cm、AB = 9 cm のとき、辺 AC の長さを求めなさい。
  2. (1) の図で、DE = 5 cm のとき、辺 BC の長さを求めなさい。
  3. 線分 AB と線分 CD が点 O で交わっていて、AC ∥ DB である。AO = 6 cm、BO = 9 cm、CO = 4 cm のとき、DO の長さを求めなさい。

4 平行線と線分の比 各4点×4＝16点

次の問いに答えなさい。(1)〜(3) は、△ABC の辺 AB 上に点 D、辺 AC 上に点 E があり、DE ∥ BC である図で考えなさい。

  1. AD = 6 cm、DB = 3 cm、AE = 8 cm のとき、EC の長さを求めなさい。
  2. (1) で、BC = 12 cm のとき、DE の長さを求めなさい。
  3. AD : DB = 2 : 3、BC = 15 cm のとき、DE の長さを求めなさい。
  4. 平行な3直線 ℓ、m、n に、直線 p がそれぞれ点 A、B、C で、直線 q がそれぞれ点 D、E、F で交わっている。AB = 4 cm、BC = 6 cm、DE = 6 cm のとき、EF の長さを求めなさい。

5 中点連結定理 各4点×3＝12点

次の問いに答えなさい。

  1. △ABC で、辺 AB の中点を M、辺 AC の中点を N とする。BC = 14 cm のとき、MN の長さを求めなさい。
  2. (1) で、MN と BC の位置関係を、記号を使って表しなさい。
  3. 四角形 ABCD の辺 AB、BC、CD、DA の中点を、それぞれ P、Q、R、S とする。AC = 10 cm、BD = 8 cm のとき、四角形 PQRS の周の長さを求めなさい。

6 相似な図形の面積比・体積比 各4点×4＝16点

次の問いに答えなさい。

  1. 相似比が 2 : 3 の2つの三角形の面積比を求めなさい。
  2. 相似比が 3 : 5 の2つの相似な図形があり、小さいほうの面積は 18 cm² である。大きいほうの面積を求めなさい。
  3. 相似比が 1 : 2 の2つの相似な立体の体積比を求めなさい。
  4. 相似な2つの円柱 P、Q があり、相似比は 2 : 3 である。P の体積が 40 cm³ のとき、Q の体積を求めなさい。

7 証明の穴埋め 各10点×1＝10点

次の証明の（ア）〜（オ）にあてはまる記号やことばを答えなさい（空らん1つにつき2点）。

  1. △ABC で、辺 AB 上に点 D、辺 AC 上に点 E があり、DE ∥ BC である。このとき △ADE ∽ △ABC となることを、次のように証明した。［証明］△ADE と △ABC において、∠A は（ア）…①。DE ∥ BC より、平行線の（イ）は等しいから、∠ADE = ∠（ウ）…②。①、②より、（エ）がそれぞれ等しいので、△ADE（オ）△ABC。

8 縮図・相似の利用 各5点×2＝10点

次の問いに答えなさい。

  1. 縮尺 1/500 の縮図で 4 cm の長さは、実際には何 m か。
  2. 身長 1.5 m の人の影の長さが 2 m のとき、同じ時刻に影の長さが 12 m である木の高さを求めなさい。

解答・解説

大問ごとに開けます。丸つけのあとは、下の「弱点診断」で落とした型を確認してください。

1. 相似な図形と相似比（各3点×4＝12点）
  1. △ABC と △DEF の相似比を求めなさい。 AB : DE = 6 : 4 → 3 : 2
  2. 辺 EF の長さを求めなさい。 9 × 2/3 = 6 cm
  3. 辺 FD の長さを求めなさい。 12 × 2/3 = 8 cm
  4. これとは別の2つの三角形で、△PQR ∽ △STU（P と S、Q と T、R と U が対応）である。∠P = 50°、∠Q = 100° のとき、∠U の大きさを求めなさい。 ∠R = 180° − (50° + 100°) = 30°、∠U は ∠R に対応する → 30°
2. 三角形の相似条件（各3点×4＝12点）
  1. 三角形の相似条件を3つ書きなさい。 3組の辺の比がすべて等しい。／2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。／2組の角がそれぞれ等しい。
  2. △ABC と △DEF で、AB = 4 cm、BC = 6 cm、CA = 8 cm、DE = 6 cm、EF = 9 cm、FD = 12 cm のとき、使える相似条件を答えなさい。 3組の辺の比がすべて等しい（どの組も 2 : 3）
  3. △ABC と △DEF で、AB = 6 cm、AC = 9 cm、∠A = 40°、DE = 4 cm、DF = 6 cm、∠D = 40° のとき、使える相似条件を答えなさい。 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい（AB : DE = AC : DF = 3 : 2、∠A = ∠D）
  4. △ABC と △DEF で、∠A = 60°、∠B = 70°、∠D = 60°、∠F = 50° のとき、2つの三角形は相似といえるか。理由もあわせて答えなさい。 いえる。∠E = 180° − (60° + 50°) = 70° なので、∠A = ∠D、∠B = ∠E となり、2組の角がそれぞれ等しい
3. 相似を使って長さを求める（各4点×3＝12点）
  1. △ABC で、辺 AB 上に点 D、辺 AC 上に点 E があり、∠ADE = ∠ACB である。AD = 4 cm、AE = 3 cm、AB = 9 cm のとき、辺 AC の長さを求めなさい。 ∠A は共通、∠ADE = ∠ACB より △ADE ∽ △ACB。AD : AC = AE : AB、4 : AC = 3 : 9 → 12 cm
  2. (1) の図で、DE = 5 cm のとき、辺 BC の長さを求めなさい。 相似比は AE : AB = 1 : 3 なので 5 × 3 → 15 cm
  3. 線分 AB と線分 CD が点 O で交わっていて、AC ∥ DB である。AO = 6 cm、BO = 9 cm、CO = 4 cm のとき、DO の長さを求めなさい。 錯角と対頂角が等しいので △AOC ∽ △BOD。AO : BO = CO : DO、6 : 9 = 4 : DO → 6 cm
4. 平行線と線分の比（各4点×4＝16点）
  1. AD = 6 cm、DB = 3 cm、AE = 8 cm のとき、EC の長さを求めなさい。 AD : DB = AE : EC、6 : 3 = 8 : EC → 4 cm
  2. (1) で、BC = 12 cm のとき、DE の長さを求めなさい。 AD : AB = DE : BC、6 : 9 = DE : 12 → 8 cm
  3. AD : DB = 2 : 3、BC = 15 cm のとき、DE の長さを求めなさい。 AD : AB = 2 : 5 なので 15 × 2/5 → 6 cm
  4. 平行な3直線 ℓ、m、n に、直線 p がそれぞれ点 A、B、C で、直線 q がそれぞれ点 D、E、F で交わっている。AB = 4 cm、BC = 6 cm、DE = 6 cm のとき、EF の長さを求めなさい。 AB : BC = DE : EF、4 : 6 = 6 : EF → 9 cm
5. 中点連結定理（各4点×3＝12点）
  1. △ABC で、辺 AB の中点を M、辺 AC の中点を N とする。BC = 14 cm のとき、MN の長さを求めなさい。 14 × 1/2 = 7 cm
  2. (1) で、MN と BC の位置関係を、記号を使って表しなさい。 MN ∥ BC
  3. 四角形 ABCD の辺 AB、BC、CD、DA の中点を、それぞれ P、Q、R、S とする。AC = 10 cm、BD = 8 cm のとき、四角形 PQRS の周の長さを求めなさい。 PQ = SR = 10 × 1/2 = 5、PS = QR = 8 × 1/2 = 4 なので (5 + 4) × 2 → 18 cm
6. 相似な図形の面積比・体積比（各4点×4＝16点）
  1. 相似比が 2 : 3 の2つの三角形の面積比を求めなさい。 2² : 3² = 4 : 9
  2. 相似比が 3 : 5 の2つの相似な図形があり、小さいほうの面積は 18 cm² である。大きいほうの面積を求めなさい。 面積比は 9 : 25 なので 18 × 25/9 = 50 cm²
  3. 相似比が 1 : 2 の2つの相似な立体の体積比を求めなさい。 1³ : 2³ = 1 : 8
  4. 相似な2つの円柱 P、Q があり、相似比は 2 : 3 である。P の体積が 40 cm³ のとき、Q の体積を求めなさい。 体積比は 8 : 27 なので 40 × 27/8 = 135 cm³
7. 証明の穴埋め（各10点×1＝10点）
  1. △ABC で、辺 AB 上に点 D、辺 AC 上に点 E があり、DE ∥ BC である。このとき △ADE ∽ △ABC となることを、次のように証明した。［証明］△ADE と △ABC において、∠A は（ア）…①。DE ∥ BC より、平行線の（イ）は等しいから、∠ADE = ∠（ウ）…②。①、②より、（エ）がそれぞれ等しいので、△ADE（オ）△ABC。 ア: 共通　イ: 同位角　ウ: ABC（B でも可）　エ: 2組の角　オ: ∽
8. 縮図・相似の利用（各5点×2＝10点）
  1. 縮尺 1/500 の縮図で 4 cm の長さは、実際には何 m か。 4 × 500 = 2000 cm → 20 m
  2. 身長 1.5 m の人の影の長さが 2 m のとき、同じ時刻に影の長さが 12 m である木の高さを求めなさい。 木の高さを x m とすると 1.5 : 2 = x : 12、2x = 18 → 9 m

採点が終わったら：どの型で落としたかを見る

点数より「どの大問を落としたか」が大事です。落とした大問を下の表で引くと、原因と対策がわかります。

落とした大問原因対策
1対応する辺・角の取り違え△ABC ∽ △DEF と書いたら、A と D、B と E、C と F が対応する。対応する辺の比が相似比で、対応する角は等しい。
2相似条件があいまい「3組の辺の比」「2組の辺の比とその間の角」「2組の角」の3つ。合同条件とのちがいは、辺が「等しい」ではなく「比が等しい」こと。角は2組わかれば十分。
3・4比例式の立て方対応する辺どうしを同じ順に並べて比例式を作る。DE ∥ BC のとき、AD : DB = AE : EC（辺の上の比）と AD : AB = DE : BC（三角形の辺の比）を使い分ける。DE と BC の比に AD : DB を使わない。
5中点連結定理2辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で、長さはその半分。四角形では、対角線をひいて三角形に分けて使う。
6面積比・体積比相似比が m : n のとき、面積比は m² : n²、体積比は m³ : n³。相似比をそのまま面積や体積の比に使わない。
7証明の流れと根拠「どの三角形に注目するか → 等しい角を根拠つきで2つ → 相似条件 → 結論」の順に書く。根拠は「共通」「平行線の同位角・錯角」「対頂角」のどれかで答える。
8縮図・影の問題縮尺 1/500 は、実際の長さが縮図の 500 倍。単位を cm から m に直すのを忘れない。影の問題は「高さ : 影」の比が同じ時刻なら等しい。

80点未満だったときの、やり直し順

  1. 第1問・第2問は、相似条件3つを何も見ずに書けるようにしてから解き直す。
  2. 第3問・第4問は、図をかいて対応する辺に同じ印をつけ、比例式を書いてから計算する。
  3. 第6問は、相似比 → 面積比（2乗）→ 体積比（3乗）の順に書き出してから解き直す。
  4. もう一度同じテストを30分で解き直し、90点以上を目標にする。

よくある質問

3件
中3数学「相似な図形」のテストは何分・何点ですか？
制限時間40分、100点満点、目標は80点以上です。大問8問、小問25問で構成しています。
解答・解説はついていますか？
大問ごとに解答・解説をつけています。さらに、間違えた大問から弱点を診断する採点表と、目標点に届かなかったときのやり直し順も載せています。
印刷して使えますか？
使えます。ページ内の「印刷する」ボタンから、問題だけを印刷できます（解答は印刷されません）。

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