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中3数学「多項式の展開と因数分解」確認テスト

無料・印刷OK
制限時間40分 配点100点満点 目標80点以上 問題数大問7問（小問39問）

中学3年の数学「多項式の展開と因数分解」の無料確認テストです。単項式と多項式の乗法・除法、(a + b)(c + d) の展開、乗法公式4種、置き換えを使った展開、共通因数と公式による因数分解、置き換えを使った因数分解、数の計算の工夫、式による証明まで、定期テストや高校入試でよく出る問題を答え付きで1枚にまとめました。制限時間40分、100点満点、目標は80点以上。画面上で解いても、印刷して紙で解いてもOK。解答・解説はページ下にあります。

解答・解説へ 弱点診断へ

ルール展開した式は同類項をまとめ、次数の高い項から順に書くこと。因数分解は、まず共通因数をくくり出し、かっこの中がそれ以上因数分解できないところまで行うこと。工夫して計算する問題は、使った公式がわかる式を書くこと。

1 単項式と多項式の乗法・除法 各2点×6＝12点

次の計算をしなさい。

  1. 2a(3a − 4b)
  2. −3x(x² − 2x + 5)
  3. (x − 2y) × (−5y)
  4. (12a²b − 8ab) ÷ 4a
  5. (6x² − 9xy) ÷ (−3x)
  6. (4x²y + 6xy²) ÷ (2xy/3)

2 多項式の乗法 各3点×4＝12点

次の式を展開しなさい。

  1. (a + 3)(b − 2)
  2. (2x + 1)(x − 4)
  3. (x + 2y)(3x − y)
  4. (a − 2)(a² + a − 3)

3 乗法公式 各2点×8＝16点

乗法公式を使って、次の式を展開しなさい。

  1. (x + 3)(x + 5)
  2. (x − 6)(x + 2)
  3. (x + 4)²
  4. (a − 5)²
  5. (x + 7)(x − 7)
  6. (2x + 3y)²
  7. (3a − 1)(3a + 4)
  8. (x − 1/2)²

4 乗法公式を使った計算・置き換え 各3点×4＝12点

次の計算をしなさい。

  1. (x + 2)(x − 5) − (x − 3)²
  2. (2x − 1)² − 4x(x − 2)
  3. (a + b − 3)(a + b + 3)
  4. (x + y + 2)²

5 因数分解（共通因数・公式） 各2点×8＝16点

次の式を因数分解しなさい。

  1. 6ax − 9ay
  2. 4x²y − 8xy² + 2xy
  3. x² + 7x + 12
  4. x² − 2x − 15
  5. x² − 12x + 36
  6. 9x² − 25y²
  7. 2x² − 8x − 24
  8. 3a²b − 27b

6 いろいろな因数分解（置き換え） 各3点×4＝12点

次の式を因数分解しなさい。

  1. (a + b)² − 4(a + b) − 12
  2. (x − 2)² − 9
  3. x(y − 3) + 2(y − 3)
  4. (x + 1)² − 5(x + 1) + 6

7 式の計算の利用 各4点×5＝20点

(1)〜(4) は乗法公式や因数分解を使って、くふうして計算しなさい。(5) は問いに答えなさい。

  1. 102²
  2. 98 × 102
  3. 57² − 43²
  4. x = 97 のときの、式 x² + 6x + 9 の値
  5. 「連続する2つの奇数の積に1を加えた数は、4の倍数になる」ことを次のように説明した。【ア】〜【ウ】にあてはまる式を答えなさい。『n を整数とすると、連続する2つの奇数は 2n − 1、【ア】と表せる。この2数の積に1を加えると (2n − 1)(【ア】) + 1 = 【イ】 + 1 = 4n²。【ウ】は整数なので、4n² は4の倍数である。』

解答・解説

大問ごとに開けます。丸つけのあとは、下の「弱点診断」で落とした型を確認してください。

1. 単項式と多項式の乗法・除法（各2点×6＝12点）
  1. 2a(3a − 4b) 2a × 3a + 2a × (−4b) = 6a² − 8ab
  2. −3x(x² − 2x + 5) (−3x) × x² + (−3x) × (−2x) + (−3x) × 5 = −3x³ + 6x² − 15x
  3. (x − 2y) × (−5y) x × (−5y) + (−2y) × (−5y) = −5xy + 10y²
  4. (12a²b − 8ab) ÷ 4a 12a²b/(4a) − 8ab/(4a) = 3ab − 2b
  5. (6x² − 9xy) ÷ (−3x) 6x²/(−3x) − 9xy/(−3x) = −2x + 3y
  6. (4x²y + 6xy²) ÷ (2xy/3) (4x²y + 6xy²) × 3/(2xy) = 6x + 9y
2. 多項式の乗法（各3点×4＝12点）
  1. (a + 3)(b − 2) a × b + a × (−2) + 3 × b + 3 × (−2) = ab − 2a + 3b − 6
  2. (2x + 1)(x − 4) 2x² − 8x + x − 4 = 2x² − 7x − 4
  3. (x + 2y)(3x − y) 3x² − xy + 6xy − 2y² = 3x² + 5xy − 2y²
  4. (a − 2)(a² + a − 3) a³ + a² − 3a − 2a² − 2a + 6 = a³ − a² − 5a + 6
3. 乗法公式（各2点×8＝16点）
  1. (x + 3)(x + 5) x² + (3 + 5)x + 3 × 5 = x² + 8x + 15
  2. (x − 6)(x + 2) x² + (−6 + 2)x + (−6) × 2 = x² − 4x − 12
  3. (x + 4)² x² + 2 × 4 × x + 4² = x² + 8x + 16
  4. (a − 5)² a² − 2 × 5 × a + 5² = a² − 10a + 25
  5. (x + 7)(x − 7) x² − 7² = x² − 49
  6. (2x + 3y)² (2x)² + 2 × 2x × 3y + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²
  7. (3a − 1)(3a + 4) (3a)² + (−1 + 4) × 3a + (−1) × 4 = 9a² + 9a − 4
  8. (x − 1/2)² x² − 2 × (1/2) × x + (1/2)² = x² − x + 1/4
4. 乗法公式を使った計算・置き換え（各3点×4＝12点）
  1. (x + 2)(x − 5) − (x − 3)² x² − 3x − 10 − (x² − 6x + 9) = 3x − 19
  2. (2x − 1)² − 4x(x − 2) 4x² − 4x + 1 − 4x² + 8x = 4x + 1
  3. (a + b − 3)(a + b + 3) a + b = M とおくと (M − 3)(M + 3) = M² − 9 = (a + b)² − 9 → a² + 2ab + b² − 9
  4. (x + y + 2)² x + y = M とおくと (M + 2)² = M² + 4M + 4 = (x + y)² + 4(x + y) + 4 → x² + 2xy + y² + 4x + 4y + 4
5. 因数分解（共通因数・公式）（各2点×8＝16点）
  1. 6ax − 9ay 3a × 2x − 3a × 3y = 3a(2x − 3y)
  2. 4x²y − 8xy² + 2xy 2xy × 2x − 2xy × 4y + 2xy × 1 = 2xy(2x − 4y + 1)
  3. x² + 7x + 12 x² + (3 + 4)x + 3 × 4 = (x + 3)(x + 4)
  4. x² − 2x − 15 x² + (3 − 5)x + 3 × (−5) = (x + 3)(x − 5)
  5. x² − 12x + 36 x² − 2 × 6 × x + 6² = (x − 6)²
  6. 9x² − 25y² (3x)² − (5y)² = (3x + 5y)(3x − 5y)
  7. 2x² − 8x − 24 2(x² − 4x − 12) = 2(x + 2)(x − 6)
  8. 3a²b − 27b 3b(a² − 9) = 3b(a + 3)(a − 3)
6. いろいろな因数分解（置き換え）（各3点×4＝12点）
  1. (a + b)² − 4(a + b) − 12 a + b = M とおくと M² − 4M − 12 = (M − 6)(M + 2) → (a + b − 6)(a + b + 2)
  2. (x − 2)² − 9 x − 2 = M とおくと M² − 3² = (M + 3)(M − 3) = (x − 2 + 3)(x − 2 − 3) → (x + 1)(x − 5)
  3. x(y − 3) + 2(y − 3) y − 3 = M とおくと xM + 2M = M(x + 2) → (y − 3)(x + 2)
  4. (x + 1)² − 5(x + 1) + 6 x + 1 = M とおくと M² − 5M + 6 = (M − 2)(M − 3) = (x + 1 − 2)(x + 1 − 3) → (x − 1)(x − 2)
7. 式の計算の利用（各4点×5＝20点）
  1. 102² (100 + 2)² = 100² + 2 × 2 × 100 + 2² = 10000 + 400 + 4 → 10404
  2. 98 × 102 (100 − 2)(100 + 2) = 100² − 2² = 10000 − 4 → 9996
  3. 57² − 43² (57 + 43)(57 − 43) = 100 × 14 → 1400
  4. x = 97 のときの、式 x² + 6x + 9 の値 x² + 6x + 9 = (x + 3)² = (97 + 3)² = 100² → 10000
  5. 「連続する2つの奇数の積に1を加えた数は、4の倍数になる」ことを次のように説明した。【ア】〜【ウ】にあてはまる式を答えなさい。『n を整数とすると、連続する2つの奇数は 2n − 1、【ア】と表せる。この2数の積に1を加えると (2n − 1)(【ア】) + 1 = 【イ】 + 1 = 4n²。【ウ】は整数なので、4n² は4の倍数である。』 ア 2n + 1　イ 4n² − 1　ウ n²（(2n − 1)(2n + 1) は和と差の積の公式で 4n² − 1）

採点が終わったら：どの型で落としたかを見る

点数より「どの大問を落としたか」が大事です。落とした大問を下の表で引くと、原因と対策がわかります。

落とした大問原因対策
1・2分配法則のかけ忘れ・符号ミスかっこの中の各項に1つずつかけ、符号をつけたまま計算する。多項式 ÷ 単項式は各項をわる（分数でわるときは逆数をかける）。最後に同類項をまとめる。
3乗法公式の使い分け(x + a)(x + b)、(x + a)²、(x − a)²、(x + a)(x − a) の4つを形で見分ける。2x や 3y は（ ）でくくって1つの文字とみて、(2x)² のように2乗する。
4展開したあとの減法・置き換えひく側の式は展開した結果をかっこでくくってからひく。同じかたまり（a + b など）は M とおいて展開し、最後にもとにもどす。
5因数分解の手順①共通因数をくくり出す ②項の数と形で公式を選ぶ ③「積が定数項・和が x の係数」になる2数を見つける。答えを展開して、もとの式にもどるか確かめる。
6置き換えの見落とし同じかたまりが2回以上出てきたら M とおく。因数分解したあと M をもとの式にもどし、かっこの中を整理する。
7式の計算の利用が結びつかない100 に近い数は (100 ± a) とみる。a² − b² は (a + b)(a − b)。式の値は因数分解してから代入する。説明は「文字の置き方 → 展開・整理 → 4 ×（整数）の形 → 結論」の順に書く。

80点未満だったときの、やり直し順

  1. 第3問の乗法公式8問を、どの公式を使うかを横に書きながら解き直す。
  2. 第5問・第6問は、答えを展開してもとの式にもどるか確かめる。
  3. 第7問は、使った公式を1行書いてから計算する。説明の穴埋めは、何も見ずに全文を書けるまで繰り返す。
  4. もう一度同じテストを30分で解き直し、90点以上を目標にする。

よくある質問

3件
中3数学「多項式の展開と因数分解」のテストは何分・何点ですか？
制限時間40分、100点満点、目標は80点以上です。大問7問、小問39問で構成しています。
解答・解説はついていますか？
大問ごとに解答・解説をつけています。さらに、間違えた大問から弱点を診断する採点表と、目標点に届かなかったときのやり直し順も載せています。
印刷して使えますか？
使えます。ページ内の「印刷する」ボタンから、問題だけを印刷できます（解答は印刷されません）。

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