1 直角三角形の辺の長さ 各3点×5＝15点
次の直角三角形で、残りの1辺の長さを求めなさい。
- 直角をはさむ2辺が 3 cm、4 cm のときの斜辺
- 直角をはさむ2辺が 5 cm、12 cm のときの斜辺
- 斜辺が 10 cm、ほかの1辺が 6 cm のときの残りの辺
- 直角をはさむ2辺が 2 cm、3 cm のときの斜辺
- 斜辺が 6 cm、ほかの1辺が 4 cm のときの残りの辺
中3数学「三平方の定理」確認テスト
無料・印刷OK中学3年の数学「三平方の定理」の無料確認テストです。直角三角形の辺の長さ、三平方の定理の逆、45° や 30°・60° の特別な直角三角形、座標平面上の2点間の距離、円の弦、正三角形の面積、直方体の対角線、円錐や正四角錐の高さと体積、方程式を使う文章題まで、定期テストでよく出る問題を答え付きで1枚にまとめました。図形の位置関係は文章で示しているので、図がなくても解けます。制限時間40分、100点満点、目標は80点以上。解答・解説と弱点診断つきで、画面でも印刷しても使えます。
ルール根号をふくむ答えは、根号の中をできるだけ小さい自然数にすること（√20 は 2√5）。長さ・面積・体積には単位をつけること。円周率は π を使うこと。直角三角形を図にかき、どの辺が斜辺かを確かめてから式を立てること。
2 三平方の定理の逆 各3点×4＝12点
次の長さを3辺とする三角形が、直角三角形であるものには○、そうでないものには×を書きなさい。
- 6 cm、8 cm、10 cm
- 4 cm、5 cm、6 cm
- 5 cm、12 cm、13 cm
- √2 cm、√3 cm、√5 cm
3 特別な直角三角形 各4点×4＝16点
次の問いに答えなさい。
- 1辺が 4 cm の正方形の対角線の長さを求めなさい。
- 1辺が 6 cm の正三角形の高さを求めなさい。
- 3つの角が 30°、60°、90° の直角三角形で、斜辺が 8 cm のとき、残りの2辺の長さを求めなさい。
- 3つの角が 45°、45°、90° の直角三角形で、斜辺が 6 cm のとき、等しい2辺の長さを求めなさい。
4 平面図形への利用 各4点×4＝16点
次の問いに答えなさい。
- 2点 A(1, 2)、B(4, 6) の間の距離を求めなさい。
- 2点 C(−2, 3)、D(3, 1) の間の距離を求めなさい。
- 半径 5 cm の円で、中心からの距離が 3 cm である弦の長さを求めなさい。
- 1辺が 6 cm の正三角形の面積を求めなさい。
5 空間図形への利用 各4点×4＝16点
次の問いに答えなさい。
- 縦 3 cm、横 4 cm、高さ 12 cm の直方体の対角線の長さを求めなさい。
- 1辺が 2 cm の立方体の対角線の長さを求めなさい。
- 底面の半径が 3 cm、母線の長さが 5 cm の円錐の高さを求めなさい。
- 半径 5 cm の球を、中心からの距離が 4 cm である平面で切ったとき、切り口の円の半径を求めなさい。
6 円錐・角錐の体積 各5点×2＝10点
次の問いに答えなさい。
- 底面の半径が 3 cm、母線の長さが 5 cm の円錐の体積を求めなさい。
- 底面が1辺 8 cm の正方形で、頂点と底面の4つの頂点を結ぶ辺の長さがすべて 6 cm である正四角錐の、高さと体積を求めなさい。
7 方程式を使う問題・文章題 各5点×3＝15点
次の問いに答えなさい。
- 直角三角形の3辺の長さが x cm、(x + 1) cm、(x + 2) cm であるとき、x の値を求めなさい。
- 長さ 5 m のはしごを、下の端が壁から 3 m はなれるようにして、垂直な壁に立てかけた。はしごの上の端は、地面から何 m の高さにあるか。
- AB = AC = 5 cm、BC = 6 cm の二等辺三角形 ABC の面積を求めなさい。
解答・解説
大問ごとに開けます。丸つけのあとは、下の「弱点診断」で落とした型を確認してください。
1. 直角三角形の辺の長さ（各3点×5＝15点）
- 直角をはさむ2辺が 3 cm、4 cm のときの斜辺 √(3² + 4²) = √25 → 5 cm
- 直角をはさむ2辺が 5 cm、12 cm のときの斜辺 √(5² + 12²) = √169 → 13 cm
- 斜辺が 10 cm、ほかの1辺が 6 cm のときの残りの辺 √(10² − 6²) = √64 → 8 cm
- 直角をはさむ2辺が 2 cm、3 cm のときの斜辺 √(2² + 3²) = √13 cm
- 斜辺が 6 cm、ほかの1辺が 4 cm のときの残りの辺 √(6² − 4²) = √20 → 2√5 cm
2. 三平方の定理の逆（各3点×4＝12点）
- 6 cm、8 cm、10 cm ○（6² + 8² = 100 = 10²）
- 4 cm、5 cm、6 cm ×（4² + 5² = 41、6² = 36 で等しくない）
- 5 cm、12 cm、13 cm ○（5² + 12² = 169 = 13²）
- √2 cm、√3 cm、√5 cm ○（2 + 3 = 5）
3. 特別な直角三角形（各4点×4＝16点）
- 1辺が 4 cm の正方形の対角線の長さを求めなさい。 4 × √2 = 4√2 cm
- 1辺が 6 cm の正三角形の高さを求めなさい。 6 × √3/2 = 3√3 cm
- 3つの角が 30°、60°、90° の直角三角形で、斜辺が 8 cm のとき、残りの2辺の長さを求めなさい。 辺の比は 1 : 2 : √3 なので、8 × 1/2 と 8 × √3/2 = 4 cm と 4√3 cm
- 3つの角が 45°、45°、90° の直角三角形で、斜辺が 6 cm のとき、等しい2辺の長さを求めなさい。 辺の比は 1 : 1 : √2 なので 6 ÷ √2 = 6√2/2 → 3√2 cm
4. 平面図形への利用（各4点×4＝16点）
- 2点 A(1, 2)、B(4, 6) の間の距離を求めなさい。 √((4 − 1)² + (6 − 2)²) = √25 → 5
- 2点 C(−2, 3)、D(3, 1) の間の距離を求めなさい。 √((3 + 2)² + (1 − 3)²) = √(25 + 4) → √29
- 半径 5 cm の円で、中心からの距離が 3 cm である弦の長さを求めなさい。 弦の半分は √(5² − 3²) = 4 なので 4 × 2 → 8 cm
- 1辺が 6 cm の正三角形の面積を求めなさい。 高さは 3√3 cm なので 1/2 × 6 × 3√3 = 9√3 cm²
5. 空間図形への利用（各4点×4＝16点）
- 縦 3 cm、横 4 cm、高さ 12 cm の直方体の対角線の長さを求めなさい。 √(3² + 4² + 12²) = √169 → 13 cm
- 1辺が 2 cm の立方体の対角線の長さを求めなさい。 √(2² + 2² + 2²) = √12 → 2√3 cm
- 底面の半径が 3 cm、母線の長さが 5 cm の円錐の高さを求めなさい。 √(5² − 3²) = √16 → 4 cm
- 半径 5 cm の球を、中心からの距離が 4 cm である平面で切ったとき、切り口の円の半径を求めなさい。 √(5² − 4²) = √9 → 3 cm
6. 円錐・角錐の体積（各5点×2＝10点）
- 底面の半径が 3 cm、母線の長さが 5 cm の円錐の体積を求めなさい。 高さは 4 cm なので 1/3 × π × 3² × 4 = 12π cm³
- 底面が1辺 8 cm の正方形で、頂点と底面の4つの頂点を結ぶ辺の長さがすべて 6 cm である正四角錐の、高さと体積を求めなさい。 底面の対角線の半分は 4√2 cm。高さは √(6² − (4√2)²) = √(36 − 32) = 2。体積は 1/3 × 8² × 2 → 高さ 2 cm、体積 128/3 cm³
7. 方程式を使う問題・文章題（各5点×3＝15点）
- 直角三角形の3辺の長さが x cm、(x + 1) cm、(x + 2) cm であるとき、x の値を求めなさい。 斜辺は (x + 2) cm。x² + (x + 1)² = (x + 2)²、x² − 2x − 3 = 0、(x − 3)(x + 1) = 0、x > 0 より → x = 3
- 長さ 5 m のはしごを、下の端が壁から 3 m はなれるようにして、垂直な壁に立てかけた。はしごの上の端は、地面から何 m の高さにあるか。 √(5² − 3²) = √16 → 4 m
- AB = AC = 5 cm、BC = 6 cm の二等辺三角形 ABC の面積を求めなさい。 A から BC にひいた垂線は BC を2等分するので、高さは √(5² − 3²) = 4。1/2 × 6 × 4 → 12 cm²
採点が終わったら：どの型で落としたかを見る
点数より「どの大問を落としたか」が大事です。落とした大問を下の表で引くと、原因と対策がわかります。
| 落とした大問 | 原因 | 対策 |
|---|---|---|
| 1 | 斜辺とほかの辺の区別 | 直角の向かいにある、いちばん長い辺が斜辺。斜辺を求めるときは2乗の和、ほかの辺を求めるときは「斜辺の2乗 − もう1辺の2乗」。根号の中は簡単にする。 |
| 2 | 三平方の定理の逆 | いちばん長い辺の2乗と、残り2辺の2乗の和を比べる。等しければ直角三角形。長い辺を取りちがえない。 |
| 3 | 特別な直角三角形の辺の比 | 45°・45°・90° は 1 : 1 : √2、30°・60°・90° は 1 : 2 : √3（斜辺が 2）。正方形の対角線は1辺の √2 倍、正三角形の高さは1辺の √3/2 倍。 |
| 4 | 平面図形での直角三角形の作り方 | 2点間の距離は、x 座標の差と y 座標の差を2辺とする直角三角形で考える。弦は、中心から弦にひいた垂線が弦を2等分することを使う。 |
| 5・6 | 空間図形での直角三角形の作り方 | 直方体の対角線は √(縦² + 横² + 高さ²)。円錐は「半径・高さ・母線」、正四角錐は「底面の対角線の半分・高さ・側面の辺」で直角三角形を作る。錐の体積は 1/3 × 底面積 × 高さ。 |
| 7 | 式の立て方 | いちばん長い辺を斜辺として三平方の定理の式を作り、二次方程式を解く。求めた解が長さとして合うかを確かめる。二等辺三角形は、頂点から底辺に垂線をひいて直角三角形に分ける。 |
80点未満だったときの、やり直し順
- 第1問・第2問は、どの辺が斜辺かを先に書いてから式を立て直す。
- 第3問は、2種類の三角定規の辺の比（1 : 1 : √2 と 1 : 2 : √3）を図にかき入れてから解き直す。
- 第5問・第6問は、立体の中のどの直角三角形を使ったかを図にかいてから計算し直す。
- もう一度同じテストを30分で解き直し、90点以上を目標にする。
よくある質問
3件
- 中3数学「三平方の定理」のテストは何分・何点ですか？
- 制限時間40分、100点満点、目標は80点以上です。大問7問、小問26問で構成しています。
- 解答・解説はついていますか？
- 大問ごとに解答・解説をつけています。さらに、間違えた大問から弱点を診断する採点表と、目標点に届かなかったときのやり直し順も載せています。
- 印刷して使えますか？
- 使えます。ページ内の「印刷する」ボタンから、問題だけを印刷できます（解答は印刷されません）。