関数 y = ax² と一次関数 y = 3x + 1 で、x の値が 2 から 4 まで増加するときの変化の割合が等しい。a の値を求めなさい。
5放物線と直線の交点各5点×4＝20点
次の問いに答えなさい。座標の1目もりを 1 cm とする。
(1)〜(3)：放物線 y = x² と直線 y = x + 6 が2点 A、B で交わっている。点 A の x 座標は点 B の x 座標より小さい。O は原点とする。
2点 A、B の座標を求めなさい。
直線 AB と y 軸との交点 C の座標を求めなさい。
△OAB の面積を求めなさい。
放物線 y = ax² と直線 y = 2x + 3 が2点で交わり、その1つの交点の x 座標は 3 である。a の値と、もう1つの交点の座標を求めなさい。
6関数 y = ax² の利用各5点×4＝20点
次の問いに答えなさい。
(1)〜(3)：物体が落ち始めてから x 秒間に落ちる距離を y m とすると、y = 5x² の関係がある（空気の抵抗は考えない）。
落ち始めてから3秒間に落ちる距離を求めなさい。
80 m 落ちるのにかかる時間を求めなさい。
落ち始めて2秒後から4秒後までの間の平均の速さを求めなさい。
ある自動車の制動距離（ブレーキがきき始めてから止まるまでの距離）y m は、速さ 時速 x km の2乗に比例し、時速 40 km のとき 8 m である。時速 80 km のときの制動距離を求めなさい。
解答・解説
大問ごとに開けます。丸つけのあとは、下の「弱点診断」で落とした型を確認してください。
1. 2乗に比例する関数と式の決定（各3点×6＝18点）
次のうち、y が x の2乗に比例するものをすべて選びなさい。 ア 1辺が x cm の正方形の面積 y cm² イ 半径 x cm の円の周の長さ y cm ウ 底面の半径が x cm、高さが 5 cm の円柱の体積 y cm³ エ 時速 x km で3時間進んだときの道のり y kmア、ウ（ア y = x²、ウ y = 5πx²。イ y = 2πx、エ y = 3x は比例）
関数 y = ax² で、x の値が3倍になると、y の値は何倍になるか。9倍（3² 倍）
y は x の2乗に比例し、x = 3 のとき y = 18 である。y を x の式で表しなさい。18 = a × 3² より a = 2 → y = 2x²
y は x の2乗に比例し、x = −2 のとき y = −12 である。x = 3 のときの y の値を求めなさい。−12 = a × (−2)² より a = −3、y = −3 × 3² → y = −27
関数 y = ax² のグラフが点 (4, −8) を通るとき、a の値を求めなさい。−8 = a × 4²、16a = −8 → a = −1/2
関数 y = (1/3)x² で、y = 12 となる x の値を求めなさい。12 = (1/3)x²、x² = 36 → x = ±6
2. グラフの特徴（各2点×6＝12点）
グラフが上に開いている（x 軸の上側にある）ものをすべて選びなさい。ア、ウ（比例定数が正）
グラフが x 軸について対称になっている2つの関数の組を選びなさい。イとウ（比例定数の符号だけがちがう）
グラフの開き方がもっとも小さいものを選びなさい。エ（比例定数の絶対値 4 がもっとも大きい）
x < 0 の範囲で、x の値が増加すると y の値も増加するものをすべて選びなさい。イ、エ（比例定数が負のグラフは、x < 0 で右上がり）
ア〜エのどのグラフも通る点の座標と、グラフの対称の軸を答えなさい。原点 (0, 0) を通り、対称の軸は y 軸
アのグラフ上にある点を、次からすべて選びなさい。 ① (2, 12) ② (−2, 12) ③ (−1, −3) ④ (3, 18)①、②（③は y = 3、④は y = 27 になるので通らない）
3. 変域（各3点×5＝15点）
y = 2x² で、x の変域が 1 ≦ x ≦ 3 のときの y の変域2 ≦ y ≦ 18（x = 1 のとき y = 2、x = 3 のとき y = 18）
y = 2x² で、x の変域が −1 ≦ x ≦ 3 のときの y の変域0 ≦ y ≦ 18（x の変域に 0 をふくむので最小値は x = 0 のときの 0、最大値は x = 3 のときの 18）
y = −x² で、x の変域が −3 ≦ x ≦ 2 のときの y の変域−9 ≦ y ≦ 0（最大値は x = 0 のときの 0、最小値は x = −3 のときの −9）
y = (1/2)x² で、x の変域が −4 ≦ x ≦ −2 のときの y の変域2 ≦ y ≦ 8（x = −2 のとき y = 2、x = −4 のとき y = 8）
関数 y = ax² で、x の変域が −2 ≦ x ≦ 4 のとき、y の変域は 0 ≦ y ≦ 8 である。a の値を求めなさい。y が正の値をとるので a > 0。y が最大になるのは絶対値が大きい x = 4 のときで 8 = a × 4² → a = 1/2
ある自動車の制動距離（ブレーキがきき始めてから止まるまでの距離）y m は、速さ 時速 x km の2乗に比例し、時速 40 km のとき 8 m である。時速 80 km のときの制動距離を求めなさい。8 = a × 40² より a = 1/200、y = (1/200) × 80² → 32 m
採点が終わったら：どの型で落としたかを見る
点数より「どの大問を落としたか」が大事です。落とした大問を下の表で引くと、原因と対策がわかります。
落とした大問
原因
対策
1
式の決定・2乗に比例の意味
y = ax² に1組の x、y の値を代入して a を求める。x が n 倍になると y は n² 倍。y の値から x を求めるときは、正と負の2つの値があることを忘れない。
2
グラフの特徴があいまい
a > 0 なら上に開き、a < 0 なら下に開く。a の絶対値が大きいほど開き方は小さい。y = ax² と y = −ax² のグラフは x 軸について対称。どのグラフも原点を通り、y 軸について対称。
3
変域で 0 をまたぐ場合
x の変域に 0 がふくまれるときは、y の最小値（a < 0 なら最大値）は 0 になる。両端を代入するだけで決めず、グラフの略図をかいて確かめる。