1 解の意味・平方根の考え方で解く 各2点×6＝12点
(1) は問いに答えなさい。(2)〜(6) は二次方程式を解きなさい。
- −1、0、1、2 のうち、二次方程式 x² − x − 2 = 0 の解をすべて選びなさい。
- 3x² = 48
- 4x² − 3 = 0
- (x − 2)² = 9
- (x + 3)² = 5
- x² + 6x − 1 = 0（(x + p)² = q の形に変形して解くこと）
中3数学「二次方程式」確認テスト
無料・印刷OK中学3年の数学「二次方程式」の無料確認テストです。二次方程式の解の意味、平方根の考え方を使った解き方、因数分解を使った解き方、解の公式、式を整理してから解く問題、解から係数を求める問題、文章題（数・面積・動点）まで、定期テストや高校入試でよく出る問題を答え付きで1枚にまとめました。図形の問題も長さや速さを文章で示しているので、図がなくても解けます。制限時間40分、100点満点、目標は80点以上。画面上で解いても、印刷して紙で解いてもOK。解答・解説はページ下にあります。
ルール解が2つあるときは「x = 2, 3」のように両方書くこと。解の公式を使った答えは、根号の中をできるだけ小さくし、約分できるところまで約分すること。文章題は x が何を表すかを書き、求めた解が問題に合うかを確かめること。
2 因数分解で解く 各3点×6＝18点
次の二次方程式を解きなさい。
- (x − 3)(x + 5) = 0
- x² + 6x + 8 = 0
- x² − x − 12 = 0
- x² − 5x = 0
- x² − 10x + 25 = 0
- 2x² − 4x − 30 = 0
3 解の公式 各3点×4＝12点
解の公式を使って、次の二次方程式を解きなさい。
- x² + 3x + 1 = 0
- 2x² − 5x + 1 = 0
- x² − 4x + 2 = 0
- 3x² + 2x − 1 = 0
4 いろいろな二次方程式 各3点×4＝12点
式を整理してから、次の二次方程式を解きなさい。
- x² = 4x + 21
- (x + 1)(x − 3) = 5
- (x − 2)² = 3x − 2
- (1/2)x² − x − 1 = 0
5 解から係数を求める 各4点×3＝12点
次の問いに答えなさい。
- 二次方程式 x² + ax − 12 = 0 の解の1つが 3 のとき、a の値と、もう1つの解を求めなさい。
- 二次方程式 x² − 5x + a = 0 の解の1つが 2 のとき、a の値と、もう1つの解を求めなさい。
- 二次方程式 x² + ax + b = 0 の解が 2 と −5 のとき、a、b の値を求めなさい。
6 文章題（数） 各5点×2＝10点
二次方程式をつくって解きなさい。
- ある自然数を2乗した数は、もとの数を3倍した数より 28 大きい。もとの自然数を求めなさい。
- 連続する2つの自然数があり、それぞれを2乗した数の和は 85 である。2つの自然数を求めなさい。
7 文章題（面積・動点） 各6点×4＝24点
二次方程式をつくって解きなさい。
- 縦が横より 3 cm 短い長方形があり、面積は 54 cm² である。この長方形の縦と横の長さを求めなさい。
- 縦 20 m、横 30 m の長方形の土地に、同じ幅の道を縦に1本、横に1本、土地の辺に平行に端から端まで通し、残りを畑にする。畑の面積を 504 m² にするには、道の幅を何 m にすればよいか。
- 正方形の厚紙の四すみから1辺 3 cm の正方形を切り取り、残りを折り曲げて、ふたのない直方体の箱を作ったところ、容積が 300 cm³ になった。もとの厚紙の1辺の長さを求めなさい。
- AB = 6 cm、BC = 12 cm の長方形 ABCD がある。点 P は頂点 A を出発して辺 AB 上を毎秒 1 cm の速さで B まで動き、点 Q は P と同時に頂点 B を出発して辺 BC 上を毎秒 2 cm の速さで C まで動く。△PBQ の面積が 8 cm² になるのは、出発してから何秒後か。
解答・解説
大問ごとに開けます。丸つけのあとは、下の「弱点診断」で落とした型を確認してください。
1. 解の意味・平方根の考え方で解く（各2点×6＝12点）
- −1、0、1、2 のうち、二次方程式 x² − x − 2 = 0 の解をすべて選びなさい。 −1 と 2（x = −1 のとき 1 + 1 − 2 = 0、x = 2 のとき 4 − 2 − 2 = 0）
- 3x² = 48 x² = 16 → x = ±4
- 4x² − 3 = 0 x² = 3/4 → x = ±√3/2
- (x − 2)² = 9 x − 2 = ±3 → x = 5, −1
- (x + 3)² = 5 x + 3 = ±√5 → x = −3 ± √5
- x² + 6x − 1 = 0（(x + p)² = q の形に変形して解くこと） x² + 6x = 1、x² + 6x + 9 = 1 + 9、(x + 3)² = 10、x + 3 = ±√10 → x = −3 ± √10
2. 因数分解で解く（各3点×6＝18点）
- (x − 3)(x + 5) = 0 x − 3 = 0 または x + 5 = 0 → x = 3, −5
- x² + 6x + 8 = 0 (x + 2)(x + 4) = 0 → x = −2, −4
- x² − x − 12 = 0 (x + 3)(x − 4) = 0 → x = −3, 4
- x² − 5x = 0 x(x − 5) = 0 → x = 0, 5
- x² − 10x + 25 = 0 (x − 5)² = 0 → x = 5
- 2x² − 4x − 30 = 0 両辺を2でわって x² − 2x − 15 = 0、(x + 3)(x − 5) = 0 → x = −3, 5
3. 解の公式（各3点×4＝12点）
- x² + 3x + 1 = 0 x = {−3 ± √(3² − 4 × 1 × 1)}/(2 × 1) → x = (−3 ± √5)/2
- 2x² − 5x + 1 = 0 x = {5 ± √(25 − 8)}/4 → x = (5 ± √17)/4
- x² − 4x + 2 = 0 x = {4 ± √(16 − 8)}/2 = (4 ± 2√2)/2 → x = 2 ± √2
- 3x² + 2x − 1 = 0 x = {−2 ± √(4 + 12)}/6 = (−2 ± 4)/6 → x = 1/3, −1
4. いろいろな二次方程式（各3点×4＝12点）
- x² = 4x + 21 x² − 4x − 21 = 0、(x − 7)(x + 3) = 0 → x = 7, −3
- (x + 1)(x − 3) = 5 x² − 2x − 3 = 5、x² − 2x − 8 = 0、(x − 4)(x + 2) = 0 → x = 4, −2
- (x − 2)² = 3x − 2 x² − 4x + 4 = 3x − 2、x² − 7x + 6 = 0、(x − 1)(x − 6) = 0 → x = 1, 6
- (1/2)x² − x − 1 = 0 両辺を2倍して x² − 2x − 2 = 0、x = {2 ± √(4 + 8)}/2 = (2 ± 2√3)/2 → x = 1 ± √3
5. 解から係数を求める（各4点×3＝12点）
- 二次方程式 x² + ax − 12 = 0 の解の1つが 3 のとき、a の値と、もう1つの解を求めなさい。 x = 3 を代入して 9 + 3a − 12 = 0 より a = 1。x² + x − 12 = 0、(x + 4)(x − 3) = 0 → a = 1、もう1つの解は x = −4
- 二次方程式 x² − 5x + a = 0 の解の1つが 2 のとき、a の値と、もう1つの解を求めなさい。 x = 2 を代入して 4 − 10 + a = 0 より a = 6。x² − 5x + 6 = 0、(x − 2)(x − 3) = 0 → a = 6、もう1つの解は x = 3
- 二次方程式 x² + ax + b = 0 の解が 2 と −5 のとき、a、b の値を求めなさい。 (x − 2)(x + 5) = 0 を展開すると x² + 3x − 10 = 0 → a = 3、b = −10
6. 文章題（数）（各5点×2＝10点）
- ある自然数を2乗した数は、もとの数を3倍した数より 28 大きい。もとの自然数を求めなさい。 もとの数を x とすると x² = 3x + 28、x² − 3x − 28 = 0、(x − 7)(x + 4) = 0 より x = 7, −4。x は自然数なので 7（確かめ：49 = 21 + 28）
- 連続する2つの自然数があり、それぞれを2乗した数の和は 85 である。2つの自然数を求めなさい。 小さい方を x とすると x² + (x + 1)² = 85、x² + x − 42 = 0、(x + 7)(x − 6) = 0 より x = 6, −7。x は自然数なので 6 と 7（確かめ：36 + 49 = 85）
7. 文章題（面積・動点）（各6点×4＝24点）
- 縦が横より 3 cm 短い長方形があり、面積は 54 cm² である。この長方形の縦と横の長さを求めなさい。 横を x cm とすると x(x − 3) = 54、x² − 3x − 54 = 0、(x − 9)(x + 6) = 0 より x = 9, −6。x > 3 なので x = 9。縦 6 cm、横 9 cm
- 縦 20 m、横 30 m の長方形の土地に、同じ幅の道を縦に1本、横に1本、土地の辺に平行に端から端まで通し、残りを畑にする。畑の面積を 504 m² にするには、道の幅を何 m にすればよいか。 道の幅を x m とすると、畑は縦 (20 − x) m、横 (30 − x) m の長方形に寄せ集められるので (20 − x)(30 − x) = 504、x² − 50x + 96 = 0、(x − 2)(x − 48) = 0 より x = 2, 48。0 < x < 20 なので 2 m
- 正方形の厚紙の四すみから1辺 3 cm の正方形を切り取り、残りを折り曲げて、ふたのない直方体の箱を作ったところ、容積が 300 cm³ になった。もとの厚紙の1辺の長さを求めなさい。 もとの1辺を x cm とすると、箱の底面は1辺 (x − 6) cm の正方形、高さは 3 cm なので 3(x − 6)² = 300、(x − 6)² = 100、x − 6 = ±10 より x = 16, −4。x > 6 なので 16 cm
- AB = 6 cm、BC = 12 cm の長方形 ABCD がある。点 P は頂点 A を出発して辺 AB 上を毎秒 1 cm の速さで B まで動き、点 Q は P と同時に頂点 B を出発して辺 BC 上を毎秒 2 cm の速さで C まで動く。△PBQ の面積が 8 cm² になるのは、出発してから何秒後か。 x 秒後に PB = (6 − x) cm、BQ = 2x cm（0 ≦ x ≦ 6）なので (1/2) × (6 − x) × 2x = 8、x² − 6x + 8 = 0、(x − 2)(x − 4) = 0 より x = 2, 4。どちらも 0 ≦ x ≦ 6 に合うので、2秒後と4秒後
採点が終わったら：どの型で落としたかを見る
点数より「どの大問を落としたか」が大事です。落とした大問を下の表で引くと、原因と対策がわかります。
| 落とした大問 | 原因 | 対策 |
|---|---|---|
| 1 | 平方根の考え方で ± を忘れる | x² = k なら x = ±√k。(x + p)² = q は x + p = ±√q としてから p を移項する。x² + bx の形は、両辺に (b/2)² を加えて (x + p)² の形にする。 |
| 2 | 因数分解で解く手順 | 右辺を 0 にして左辺を因数分解し、「A × B = 0 なら A = 0 または B = 0」を使う。x² − 5x = 0 を x でわると解 x = 0 が消えるので、わらずに因数分解する。 |
| 3 | 解の公式の代入ミス・約分忘れ | a、b、c の値を先に書き出す。b が負のときは −b の符号に注意する。√ の中を簡単にしてから、分子の全部の項と分母を約分する。 |
| 4 | 整理しないまま解こうとする | かっこを展開し、すべての項を左辺に移して ax² + bx + c = 0 の形に整える。係数に分数があれば、両辺を何倍かして整数にする。 |
| 5 | 解の意味を使えない | 解は、方程式に代入すると等式が成り立つ値。解を代入して係数を求め、その式をもう一度解いて残りの解を出す。 |
| 6・7 | 文章題の立式と解の吟味 | x が何を表すかを決め、等しい関係を式にする。求めた2つの解が「自然数」「長さは正」「点が辺の上にある」などの条件に合うかを確かめ、合わない解を捨てる。 |
80点未満だったときの、やり直し順
- 第2問・第3問を満点にする。解の公式は a、b、c を書き出してから代入する。
- 第4問は、ax² + bx + c = 0 に整理した式を必ず1行書いてから解き直す。
- 第6問・第7問は、x の範囲（x > 0 など）を先に書き、求めた解が条件に合うかを確かめる。
- もう一度同じテストを30分で解き直し、90点以上を目標にする。
よくある質問
3件
- 中3数学「二次方程式」のテストは何分・何点ですか？
- 制限時間40分、100点満点、目標は80点以上です。大問7問、小問29問で構成しています。
- 解答・解説はついていますか？
- 大問ごとに解答・解説をつけています。さらに、間違えた大問から弱点を診断する採点表と、目標点に届かなかったときのやり直し順も載せています。
- 印刷して使えますか？
- 使えます。ページ内の「印刷する」ボタンから、問題だけを印刷できます（解答は印刷されません）。